Características, cálculo y trazado de la curva de estabilidad. Pantocarenas

Acabamos de ver y entender en la sección anterior que la estabilidad transversal del buque mejora cuanto mayor sea el brazo adrizante GZ para cada escora. Quedó claro que para pequeñas escoras es la posición del centro de gravedad (como de alto esté) la que determina la estabilidad, siendo el equilibrio estable, indiferente o inestable según que G esté por debajo, coincida (en cuyo caso GZ = 0) o esté por encima del metacentro M. Pero es evidente que al variar la escora varía la posición del centro de carena C' y, por tanto, varía el brazo GZ.

La curva de brazos adrizantes, o curva de estabilidad, es la representación gráfica de GZ en función de la escora θ

Figura 1 Evolución del brazo adrizante a medida que aumenta la escora.

Figura 1 (g)

Es fácil imaginarse que forma aproximada debe tener esta cuerva: Cuando el buque está adrizado (θ = 0 grados) no hay separación entre los puntos de aplicación del empuje y el desplazamiento, no hay par de fuerzas, y GZ = 0 (caso a en la Figura 1), así que la curva de brazos adrizantes empieza en el origen de coordenadas. A medida que el buque adquiere escora (casos b y c en la Figura 1) GZ aumenta. Pero llega un momento en que al seguir escorando el valor de GZ ya no aumenta más y comienza a disminuir (caso d en el que GZ es menor que en el caso c) hasta que, llegados a una determinada escora, nos encontramos en la situación de equilibrio indiferente descrita en la sección anterior en la que el centro de gravedad G y el metacentro M coinciden y GZ vuelve a ser cero (caso θ en la Figura 1).

Para escoras aún mayores (caso f en la Figura 1) nos encontramos en el caso descrito en la figura 1(g) en el que el par se ha vuelto escorante, el equilibrio es inestable y GZ vuelve a tomar un valor distinto de cero pero si antes era positivo ahora será negativo pues es hacia el lado contrario.

Observa de nuevo como la posición relativa del metacentro respecto al centro de gravedad es quien determina cómo es la situación de equilibrio del buque:

Hasta el caso e el metacentro (representado por el círculo azul) se encuentra siempre por encima del centro de gravedad G y el equilibrio es estable, tendiendo el par de fuerzas a adrizar el buque.

En la situación e ambos puntos coinciden y no hay par de fuerzas, el equilibrio es indiferente y una pequeña perturbación adicional hará que la situación evolucione hacia las anteriores o hacia las siguientes representadas en la Figura 1.

Para escoras aun mayores (situación f) el metacentro está por debajo del centro de gravedad.

En resumen, la curva de brazos adrizantes debe tener un aspecto como el representado en la Figura 2.

Figura 2 Características de la curva de estabilidad o curva de brazos adrizantes.

Las principales características de la curva de estabilidad son, como puede apreciarse en la figura presentada arriba,

1.         La curva parte del origen de coordenadas pues a escora nula (buque adrizado) no se genera par de fuerzas algunos al actuar tanto el empuje como el desplazamiento a lo largo de la recta que une sus puntos de aplicación.

2.     Existe una máximo en la curva. O sea, para una determinada escora θ = θ_m el brazo adrizante es máximo, adquiriendo el valor GZ = GZ_m. Obviamente, cuanto mayor es el valor GZ_m mayor es la estabilidad del buque.

3.     Una característica importante es la pendiente en el origen, es decir, cómo de rápido crece GZ al arrancar desde el origen. En otras palabras, para aquellos lectores con los conocimientos de matemáticas necesarios, la derivada de la función GZ = GZ(θ) en el origen θ = 0, o sea  d_GZ/d_θ │_{θ = 0}. Es claro que cuanto mayor sea esa pendiente (intuitivamente puedes medirla como el ángulo que forma la curva con el eje de las X en el origen de coordenadas) mayor será la estabilidad transversal inicial (es decir, la estabilidad transversal ante pequeñas escoras).

4.     Ángulo crítico de estabilidad estática transversal, θ_c, que corresponde a la escora (representada en el caso θ de la Figura 1) para el que se anula el brazo adrizante. También se conoce como ángulo límite de estabilidad estática transversal. Evidentemente, esta es la escora máxima permitida pues a partir de ella el buque es inestable. En realidad, esta cuestión es un poco más complicada porque hay que estudiar los balances del buque de manera dinámica y no estática como estamos haciendo aquí. Abordaremos más adelante el estudio de la estabilidad dinámica.

5.      Área limitada por la curva y el eje de las X (O sea, la integral  ∫₀^θcGZ(θ) d_θ. Se ha sombreado esa área en la Figura 2. Una mayor área significa mayores GZ para cada escora. Por tanto, la estabilidad transversal es mejor cuanto mayor sea esa área.
Observa que todas las características de la curva de estabilidad que acabamos de enumerar se refieren a los aspectos que debe tener esa curva para conseguir la mayor estabilidad transversal posible. La pregunta, entonces, es:

¿Existe algún criterio que defina cómo ha de ser la curva de brazos adrizantes para garantizar la estabilidad estática del buque?

La respuesta es que si, existen diversos criterios que definen las características que debe tener la curva de estabilidad. Por ejemplo,

Criterio de Rahola: [Ojo solo como referencia - Consultar siempre Res. MSC.267(85) adoptada el 4 de diciembre de 2008]

Este criterio lo que hace en primer lugar es establecer unos valores mínimos que ha de tener GZ para algunas escoras. De esta forma si un buque tiene para alguna de esas escoras un GZ menor que el mínimo establecido por el criterio de Rahola se considera no apto para la navegación. Esos mínimos de Rahola son: 

Escora θ	GZ mínimo
20o	14 cm
30o	20 cm
40o	20 cm

Además, según este criterio, el máximo de la curva de brazos adrizantes debe estar situado en una escora (θ_m en la Figura 2) comprendida entre los 30^o y los 40^o. Es decir, ha de cumplirse la condición:

30^o ≤ θ_m ≤ 40^o

Finalmente, el criterio de Rahola establece una tercera condición que tiene que ver con el GZ dinámico (ya veremos en un capítulo posterior el concepto de GZ dinámico). La condición es que el brazo GZ dinámico para una escora de 40^o ha de ser, como mínimo, de 8 centímetros/radian. El significado de esta condición quedará claro cuando estudiemos la estabilidad dinámica.

Hemos definido ya en esta sección el concepto de curva de estabilidad del buque y hemos estudiado sus características más importantes. La pregunta ahora es:

¿Cómo trazamos la curva de brazos adrizantes de un buque?

Si la escora es pequeña, es decir, para el estudio de lo que hemos llamado estabilidad inicial, con escoras menores que unos 10^o, el cálculo de GZ en función de la escora es muy sencillo porque, en ese caso, la situación es la representada en la Figura 1.

Figura 1 (h) Fuerzas ante una pequeña escora: Par adrizante.

Cuando la escora es pequeña el metacentro M está en el plano de crujía. En el triángulo rectángulo ZGM (Figura 1 h) el ángulo opuesto al cateto GZ (que es el que nos interesa) es igual a la escora θ. Por tanto, la trigonometría nos dice que, para escoras pequeñas,

          GZ = GM senθ

Esta ecuación es la expresión analítica (para el caso de pequeñas escoras) de la idea, ya discutida antes, de que es la distancia GM entre el centro de gravedad y el metacentro la que determina el brazo del par adrizante. La distancia GM se llama altura metacéntrica (o, también, distancia metacéntrica). En realidad, la ecuación GZ = GM senθ  tiene algo de trampa porque, como es evidente de las figuras anteriores, la propia altura metacéntrica GM depende de la escora pero no conocemos esa dependencia de forma analítica. Las figuras indican que la distancia GM depende, para una escora θ dada, de cuánto se haya desplazado el centro de carena C por efecto de esa escora, pues trazamos la vertical por C' para definir el metacentro como el punto donde esta vertical corta al plano de crujía. Pero el desplazamiento CC' depende de la forma de la carena y eso depende del buque en cuestión e, incluso, para un buque determinado, depende del desplazamiento Δ (de como esté de cargado) porque variando el desplazamiento variamos la carena para que se cumpla siempre la condición de flotabilidad indicada por la ecuación Empuje = Desplazamiento , así que, en principio, difícilmente podremos aplicar la ecuación GZ = GM senθ   para el cálculo de GZ. Sin embargo, no olvidemos que estamos considerando el caso de pequeñas escoras. Para esos valores tan pequeños de θ el desplazamiento del centro de carena es tan pequeño que la variación del metacentro con la escora (repito, mientras ésta se mantenga por debajo de unos 10^o o 15^o) es despreciable. En otras palabras, en el estudio de la estabilidad inicial consideramos que la distancia metacéntrica GM es constante y no depende de la escora. Por tanto, conocida GM no hay más que aplicar la ecuación indicada anterior para obtener los brazos del par adrizante.

¿Cómo se resuelve el problema en el caso general de escoras grandes? 

Cuando la escora crece deja de ser cierto que el metacentro se encuentra en el plano de crujía. La situación deja de ser la representada en la Figura  (así que la evolución de GZ discutida en base a la Figura 1(h) es sólo cualitativa, como ya indiqué en su momento). Por contra, lo que se tiene entonces es la situación de la Figura 3.

Figura 3 Brazo adrizante GZ para grandes escoras.

Es evidente de la figura anterior que el brazo GZ del par adrizante es: 

GZ = KN - KG senθ

Observa que hemos considerado un nuevo punto K que llamaremos quilla. Es decir, K estará situado en la parte más baja de la quilla del buque. La distancia KG es la altura del centro de gravedad sobre la quilla y evidentemente no depende de la escora. Podemos modificar la distancia KG desplazando el centro de gravedad mediante la carga, descarga o traslado de pesos, pero una vez el buque en navegación KG es una constante que no depende de nada. Sin embargo, a la distancia KN le ocurre lo mismo que le ocurría a la altura metacéntrica GM en el caso de pequeñas escoras: KN depende de cuánto se traslade el centro de carena y eso depende de la forma del caso, para un buque dado, del estado de carga (del desplazamiento) del buque. Así que cada buque tiene unas curvas de KN en función de θ y del desplazamiento Δ propias. Esas curvas se llaman curvas pantocarenas (o curvas de KN) y, como digo, han de figurar en la documentación del buque y son calculadas en el proceso de diseño y construcción del mismo. En otras palabras, el valor de KN para cada escora y cada desplazamiento es un dato que se supone conocido para el buque. A modo de ejemplo, la Figuras 4 (a) y (b), muestra las curvas pantocarenas de un pequeño buque mercante. 

Figura 4 (a)

Figura 4 (b)  Curvas pantocarenas

Como puede verse, la utilización de estas curvas en muy sencilla: Trazamos una vertical por el valor correspondiente al desplazamiento del buque hasta cortar a la curva correspondiente a la escora que nos interese y leemos entonces en el eje de las “Y” el valor del KN correspondiente. Utilizando este valor junto con el valor de KG (el mismo para cualquier escora para un desplazamiento dado) en la ecuación GZ= KN-KGsenθ nos permite calcular el valor del brazo del par adrizante GZ para el desplazamiento y la escora considerados. Repitiendo el proceso para todas las escoras (cuando nos interese una escora no específicamente incluida en las curvas de pantocarenas tendremos que interpolar) obtendremos los valores de GZ en función de θ (todos correspondientes al mismo valor del desplazamiento) que nos permiten dibujar la curva de estabilidad para el desplazamiento considerado y comprobar que cumple el criterio de estabilidad de Rahola. Si modificamos el desplazamiento del buque, cargando o descargado pesos, habremos modificado tanto KG (pues variamos la altura de G desde la quilla) como los KN y tendremos que repetir el proceso para todas las escoras para terminar representando una nueva curva de estabilidad correspondiente al nuevo desplazamiento del buque.

Fíjate que el mismo esquema representado en la Figura 3 es válido en el caso particular de pequeñas escoras que estudiamos antes, con la única salvedad de que en ese caso el metacentro está situado en el plano de crujía (o sea, donde está el falso metacentro para grandes escoras) y, además, suponemos, como comenté más arriba, que no depende de la escora. Por tanto, se obtiene directamente de la Figura 3 la siguiente relación utilizable cuando la escora es pequeña:

KG = KM - GM

Esta ecuación no es más que una expresión del hecho de que, si el buque es estable, el metacentro está por encima del centro de gravedad para cualquier escora pequeña.

Una vez trazada la curva de estabilidad podemos obtener de ella, gráficamente, el valor de la distancia metacéntrica GM (supuesta constante) que podemos utilizar en los estudios de estabilidad ante pequeñas escoras. Para ello no hay más que tener en cuenta que si un ángulo α es suficientemente pequeño, se puede aproximar senα ~ α (por supuesto, con α medido en radianes). Así, para escoras θ pequeñas, la ecuación GZ = GM senθ  se puede aproximar aún más escribiendo GZ ≃GM θ, con la escora θ medida en radianes. Esta expresión nos dice que para escoras muy pequeñas (o sea, muy cerca del origen) la curva GZ es una recta de pendiente GM. Entonces podemos obtener GM a partir de la curva de brazos adrizantes mediante la construcción gráfica de la Figura 5.

Figura 5 Obtención de la distancia metacéntrica a partir de la curva de estabilidad



Puesto que finalmente dependemos de datos propios del buque (las curvas KN) para poder utilizar la ecuación GZ = KN - KG senθ y trazar la curva de estabilidad del buque, bien podría pensarse que, ya que en el proceso de construcción del buque se calculan las curvas de pantocarenas, podrían también a partir de ellas y la ecuación citada arriba, calcularse e incluirse en la documentación del buque curvas que den directamente el brazo del par adrizante GZ para diferentes escoras y desplazamientos. De hecho esto es lo que suele ocurrir y junto con las curvas pantocarenas se proporcionan también curvas de brazos GZ como las representadas, a modo de ejemplo, en la Figura 6.

Figura 6 Curvas de brazos GZ de un pequeño buque mercante. 

Si disponemos de estas curvas el trazado de la curva de estabilidad es trivial pues de ellas obtenemos directamente los valores de GZ correspondientes a cada valor de la escora θ para el desplazamiento que tenga el buque en ese momento. En los exámenes de Estabilidad del Buque I, es frecuente preguntar sobre la representación de la curva de estabilidad. Para ello el enunciado proporciona a veces valores de KN para distintas escoras (se supone que obtenidos de las pantocarenas del buque) y, en otras ocasiones, se dan directamente valores de GZ para distintas escoras (obtenidas supuestamente de las curvas GZ del buque).

Ejemplo.
Nuestra embarcación de 800 toneladas de desplazamiento, dista entre la quilla y el centro de gravedad del buque 5.50 metros, calculamos (son datos supuestos) los siguientes valores para KN: para 15º = 1.960; para 30º = 3.980; para 45º = 5.385; para 60º = 6.000; para 75º = 5.890 y para 90º = 5.385.

Se pide:

1.- Trazar la curva de estabilidad estática.
2.- Trazar gráficamente el valor de la distancia metacéntrica.

Para resolver la primera parte no tenemos más que aplicar la ecuación GZ = KN - KG senθ. Para facilitar este trabajo y evitar errores lo haremos construyendo una tabla en la que pondremos cada uno de los términos que intervienen. Después representamos gráficamente el resultado.

θ                                        15^o      30^o       45^o       60^o      75^o      90^o

KN (metros)                   1.960   3.980   5.385   6.000   5.890   5.385

KG.senθ (metros)           1.424   2.750   3.889   4.763   5.313   5.500

GZ = KN - KG.senθ(m)  0.536   1.248   1.496   1.237   0.577   -0.115

Una vez hecha la representación gráfica trazamos la tangente a la curva GZ en el origen y la vertical por θ =57.3^o = (1 radián) y una línea horizontal por el punto en el que esta vertical corta a la recta tangente que acabamos de dibujar. Leemos entonces en el eje de las GZ el valor de GM que responde a la segunda parte del ejercicio. En nuestro ejemplo el resultado es GM = 1.88 m. La Figura muestra la curva de estabilidad y la construcción gráfica para obtener la distancia metacéntrica GM.

Figura 7 Resolución del Ejemplo.

Nótese que el hecho de que la tangente en el origen pase por el máximo de la curva es simple casualidad y no ocurrirá en general.